Introduction aux nombres complexes

Initiation aux calculs des nombres complexes, afin de préparer leurs implémentations dans différents langages de programmation

Portfolio

1) Introduction

En mathématiques, un ensemble de nombres est l'un des ensembles classiques construits à partir de l'ensemble des entiers naturels et munis d'opérations arithmétiques, apparaissant dans la suite d'inclusions croissante (explicitée ci-contre) :

$ \mathbb{N} \subset\mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $

Représentation sous forme de tableau :
Symbole Appellation
$ \mathbb {N}$ Ensemble des entiers naturels
$ \mathbb {Z}$ Ensemble des entiers relatifs
$ \mathbb {D}$ Ensemble des décimaux
$ \mathbb {Q}$ Ensemble des rationnels
$ \mathbb {R}$ Ensemble des réels/td>
$ \mathbb {C}$ Ensemble des rationnels

1.1) $ \mathbb {N}$, l'ensemble des entiers naturels

Un entier naturel est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule)

$ \mathbb {N} =0 \quad 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad ... $

$ \mathbb {N}^* = 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 7\quad ... $

1.2) $ \mathbb {Z}$, l'ensemble des entiers relatifs

Un entier relatif est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3... tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés : 0, -1, -2, -3... L'entier zéro lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif.

1.3) $ \mathbb {D}$, l'ensemble des décimaux

Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité, c'est-à-dire un nombre qui s'écrit avec une quantité quelconque, mais finie, de chiffres à droite de la virgule en base 10. Les nombres décimaux sont les fractions d'entiers par des puissances de 10.
Si $a$ est nombre a est décimal :

  • $a$ admet un développement décimal limité.
  • il existe un entier relatif m et un entier naturel p tels que : $ a={\frac {m}{10^{p}}}$.
  • on peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible $\frac {b}{5^{m}\times 2^{p}}$, où b est un entier relatif, et m et p des entiers naturels.

1.4) $ \mathbb {Q}$, l'ensemble des rationnels

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés $\frac {a}{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle $a$ le numérateur et $b$ le dénominateur.
Soit sous forme mathématique :

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\right| \texttt{ avec } \quad m\subset\mathbb {Z} \quad \texttt{ Et avec } \quad n\subset\mathbb {Z}^* $

1.5) $ \mathbb {R}$, l'ensemble des réels

un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, $\pi$ et $e$.

1.6) $\mathbb {C}$, l'ensemble des complexes

L'ensemble des nombres complexes est créé comme extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire (noté généralement i)1 tel que $i^2 = –1$ et $(-i)^2 = -1$.
Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme $z=a + ib$ où $a$ et $b$ sont des réels.

2) Formules et Formes des nombres complexes

Dans cet article on va s'intéresser à deux forme des nombres complexes :

  • La forme algébrique.
  • La forme polaire
Représentation en 2D des nombres complexes :

2.1) Forme algébrique des nombres complexes

La forme algébrique s'écrit tel que : $z=a + ib$ où $a$ et $b$ sont des réels.
Cette forme simplifie l'addition et la soustraction.
Soit : $ z_1 =a_1+ib_1 $ et $ z_2 =a_2+ib_2 $
On a pour $z_a=z_1+z 2 = (a_1+a_2) + i(b_1+b_2)$
On a pour $z_b=z_1-z 2 = (a_1-a_2) + i(b_1-b_2)$

2.2) Forme polaire des nombres complexes

La forme polaire simplifie la multiplication et la division.

2.2.1) La forme exponentiel

La forme exponentiel s'écrit tel que : $ z=r e^{\varphi} $
avec $r= \sqrt{a^2+b^2}$
avec $\varphi= {\begin{cases}\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)&{\text{si }}b\geq 0\\-\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)&{\text{si }}b<0,\end{cases}}$
avec $\varphi= {\begin{cases}\arcsin \left({\tfrac {b}{r}}\right)&{\text{si }}a\geq 0\\\pi -\arcsin \left({\tfrac {b}{r}}\right)&{\text{si }}a<0\end{cases}}$
avec $\varphi= {\begin{cases}\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)&{\text{si }}a>0\\\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)+\pi &{\text{si }}a<0.\end{cases}}$
Quand on multiplie deux nombres complexes, on multiplie leurs normes et on addition leurs arguments ($\varphi$)
Soit : $ z_1 =r_1 e^{\varphi_1} $ et $ z_2 =r_2 e^{\varphi_2}$
On a pour $$z_a=z_1 z_2 = r_1 e^{\varphi_1} r_2 e^{\varphi_2} = r_1 r_2 e^{\varphi_1+\varphi_2} $$
On a pour $$z_b= \frac{ z_1}{z_2} = \frac{ r_1 e^{\varphi_1}}{r_2 e^{\varphi_2}} =\frac{ r_1}{r_2} e^{\varphi_1-\varphi_2} $$

2.2.2) La forme algébrique polaire

Mais implémenter l'exponentiel est complexe, donc a partir de la, on va utiliser la forme suivante :
$$z=r*(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))$$ On a comme formule de multiplication et de division :
$$z_a=z_1 z_2 = r_1 r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) $$
$$z_b= \frac{ z_1}{z_2} =\frac{ r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) $$
Pour élever la puissance d'un nombre complexe, on utilise la formule de Moivre :
$$(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))^n = (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $$
Ainsi : $$z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $$
$$z^n = e^{\ln(rn)} (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $$

3) Conclusion

Maintenant que les bases mathématiques sont posées, on peut implémenter les nombres complexes.
La suites au prochain épisode

4) Annexes / Références

Références : wikipedia
Annexes : mathjax, Latex en HTML